(17)2025年高考重庆市(二诊)数学第17题jk 露出

已知椭圆C:

x²/a²+y²/b²= l ( a > b >0）

的左, 右焦点辩别为F₁, F₂, 上极点为

A, 直线AF₁的斜率为1, 且与C的另一

个交点为B ,△ABF₂的周长为8.

(1）求C的方程及|AB|的值；

(2）如图，将C沿x轴折起，使得折

叠后平面AF₁F₂⊥平面 BF₁F₂, 求F₂到

平面ABF₁的距离。

领略：(1)设 F₁(-c ,0),F₂(c ,0),

A(0, b)，其中c²=a²-b²,

∵△ABF₂的周长为4a，

∴4a=8，得 a =2,

又∵a/c＝1jk 露出，

∴ b=c=√2，

∴椭圆方程 C: x²/4+y²/2=1，

∴直线AF : y = x +√2，

联立 y = x +√2，

x²/4+y²/2=1，

得 3x²+4√2x=0,

解得 x₁=-4√2/3，x₂=0(舍去)，

∴xB=-4√2/3，

代入 y = x +√2，

得 yB=-√2/3，

∴lABl=√2·l0-4√2/3l=8/3.

(2）如图，耕作直角坐标系，

图片

则 A (0, 0, √2),

B (-4√2/3,-√2/3, 0),

F₁(-√2, 0, 0), F₂(√2, 0, 0),

向量F₁A =(√2, 0, √2),

向量F₁B =(-√2/3, √2/3, 0),

向量F₁F₂＝(2√2, 0. 0)，

设平面 ABF₁的法向量为

n =( x , y , z )，

则有 向量F₁A·n=0，

向量F₁B·n =0，

∴ x+z=0, x + y =0，

取 n=(-1,1,1),

∴F₂到平面ABF₁的距离

d =lF₁F₂·nl/lnl

=2√2/√3=2√6/3.jk 露出